Зачем язык науке? А математика — преподаванию?

Языки позволяют сообщать информацию о том, чего в данный момент в данном месте нет («в том ущелье есть хорошие орехи», «он мой друг, но он тоже ее любит», «черная дыра»). А также строить обозначения для того, что есть в разных промежуточных смыслах («куздра», «сингулярность», «тараканы в голове у автора»). Возможность называть то, что есть в промежуточном смысле, принципиально важна для существования науки. И языки имеют иерархическую структуру. Как бы нам это отразить в преподавании?

Объектив как бы наезжал на деформированный с провалившейся серединой эритроцит... Появились мутные, словно просвечивающие сквозь переливающуюся воду контуры белка... приплюснутая тень одной молекулы заполнила весь окуляр... Я должен был увидеть дрожащие пятнышки атомов... но их не было.

Станислав Лем «Солярис»

Язык и иерархия

Когда-то в нашем журнале (2003, 12) был опубликован короткий текст «Зачем нам мозги», позже перепечатанный несколькими изданиями и имеющийся в Интернете. Идея заметки была проста. По мере эволюции от лягушки до современного человека объем мозга рос, то есть количество нейронов увеличивалось. Мозг в первую очередь начал хранить программы действий, потом, когда количество нейронов перевалило за миллиард, нашлось место для «фотоальбома», то есть картинок окружающей местности. Это позволило вести активный образ жизни и осваивать окружающее пространство. Расширение опыта подхлестнуло потребность в новых орудиях труда и навыках. А когда количество нейронов возросло еще втрое, появилось место и для культуры — развивать которую позволили недавно (в масштабе эволюции) созданные орудия труда и новые навыки. Слово «культура», которое было употреблено в той давней публикации, слишком общее. Нынешняя гипотеза: культурой оказались иерархические, специализированные и развивающиеся языки, методы их порождения и использования. Отличие человека от животных — создание таких языков.

Языки иерархичны, пример локального участка высотой в три уровня: первый — сила, длина, диаметр; второй — модуль Юнга, коэффициент Пуассона, прочность; третий — твердость, микротвердость, ауксетики, трещиностойкость. Из этого примера уже видно, что специализированный язык сам хранит научную информацию, но главное — он позволяет работать с большими объектами. Большими в разных смыслах — по сложности структуры, по функциям, по пространству, по времени. Рассмотрим близкий мне пример.

Радиоцентр состоит из нескольких зданий и сооружений: приемников, передатчиков, антенн, систем электропитания, студий, жилых помещений. Радиоприемник состоит из блоков: усилителей, фильтров, генераторов, смесителей, детекторов, блоков питания. Усилитель состоит из деталей: сопротивлений, транзисторов, ламп, диодов, конденсаторов, индуктивностей, трансформаторов, переключателей. Сопротивление состоит из материалов: керамики, нескольких металлов, нескольких красок. Металл — наконец-то! — из кристаллов (а может, и нет), но уж точно из атомов. А теперь крепко возьмите себя в руки и попробуйте вообразить себя инженером, который пытается создать приемник из атомов — не зная промежуточных языков.

Я еще вас пожалел, не предложил сделать из атомов радиоцентр. Кстати, мы с вами устроены тоже иерархично — клетки, ткани, органы. Так что когда для увеличения скорости путешествий человека будут передавать электромагнитной волной, то передавать будут для уменьшения трафика только коннектом (всю совокупность связей между нейронами нервной системы), внешние данные (рост, вес, объем) — упрощенно, а ливер по прибытии будут ставить стандартный. Информированное согласие я готов подписать.

О чем, кроме радиоцентров, позволяет говорить иерархическое построение языков? Достаточно открыть школьный учебник физики или астрономии, чтобы понять — обо всем. Если просто их листать, то видно, как меняется словарь. Учебник физики в конце переходит к заклинаниям, ибо физику элементарных частиц и почти всю космологию всерьез можно построить, только используя такой язык математики, которого школьники не знают. Они интуитивно чувствуют «заклинательный» характер этих разделов учебника и поэтому задают вопросы про устройство протона и черной дыры. Однако не спрашивают про кривую вращения галактик — не потому ли, что про нее и про следствия из нее можно рассказать на языке школьной физики?

Масштабы и последствия

Изучение физики позволяет задавать осмысленные и для спрашивающего, и для отвечающего вопросы о Вселенной. И тут нас ждет разрыв шаблона. Имея продолжительность жизни, грубо говоря, 10² лет, а через археологию и серьезную футурологию доступ, ориентировочно к 3⋅10⁴ (первая живопись) — 2⋅10⁶ (каменные орудия) лет назад и 3⋅10² лет вперед (хоть как-то обоснованные прогнозы), этот мотылек осмеливается что-то изрекать про 10¹⁰ лет в обе стороны. Имея личный размер порядка 10^–3 км, реальное перемещение не более 2⋅10⁴ км и доступ — если вспомнить о «Пионерах» и «Вояджерах», к 2⋅10¹⁰ км, рассуждает о 2⋅10²³ км (Вселенная). У человека хватает смелости на тринадцать порядков! Вот пример такого различия на шкале размеров — одинокий атом из середины таблицы Менделеева и здание Бурдж Халифа.

При этом психологически и эмоционально человек остается на вполне животном уровне. Глядя на некоторые фотографии обезьян — друг с другом, а еще лучше — со своими детишками или домашними питомцами (да, это у них бывает), хочется спросить, чем мы отличаемся? В психологическом и эмоциональном плане? Чем отличается стареющий альфа-самец с гранатой от некоторых сегодняшних политиков? Соратники уже переглядываются, ягуары дефилируют под деревом… Один из первых читателей этого текста (мой друг и критик Наташа Кленицкая) заметила, что обезьяны отличаются от нас отсутствием осознания своей смертности — при том, что смерть других они осознают. Мне пришлось пошутить — а что из этого осознают политики?

Развитие языков имеет и негативные последствия, вот три. Первое — барханы книг, заполненных словами, за которыми нет содержания. Среди их авторов есть и жулики, есть и честные люди, которые хотели что-то понять об этом мире, но не повезло с ДНК и образованием — и занялись играми. Второй негатив — расширительное применение, использование слов вне их области определения, например, описание обществ психологическими терминами. Третий — существенная часть научно-популярной литературы, гипнотизирующей дилетанта-читателя умными словами и оставляющая ему послевкусие причастности — но ничего более.

Для изучения физики, работы в ней и во всех естественных науках полезны три свойства. Одно — это способность быстро осваивать существующие, а в идеале — и строить новые словари. Словари одного ранга с уже известными — английский к русскому, физику металлов к физике диэлектриков; и словари более высокого ранга — фразы из слов, как усилители и генераторы из транзисторов и сопротивлений. Другое полезное свойство — любопытство, желание заглянуть природе под юбку, как сформулировал француз и биолог Жан Ростан. Третье полезное свойство — испытать изумление от увиденного в микроскоп (как Крис Кельвин у Лема) и телескоп (с детьми это происходит, когда они дорываются до прибора). Читатели нашего журнала или учатся, или учат, или с интересом смотрят, как учатся и учат рядом с ними. Поэтому немедленно возникает вопрос — а можно ли этому научить, или пробудить, и не дать заснуть?

Ответ на этот вопрос известен, и этот ответ — да.

Математика обучает словарю

Способность осваивать словари и пользоваться ими тренирует математика, и именно в этом состоит ее главная — если предполагается дальнейшая работа в серьезной науке — роль. Причем с веками эта ее роль растет, и не только потому, что науки математизируются. Все они строят свои словари, и для их освоения требуется освоить пройденный ими «словарный путь». Чтобы в образовании математика смогла сыграть роль «тренера словарей», она должна изучаться не как инструмент вычислений, а именно как наука математика — то есть теоремы надо доказывать и учиться доказывать. Есть и еще один редкий метод, с которым я когда-то неупруго столкнулся; о нем ниже.

Что же касается любопытства и изумления по отношению к природе, то его можно пробудить, условно говоря, микроскопом (см. эпиграф) или телескопом. Полезна демонстрация многочисленных примеров иерархических структур — они есть во всех естественных науках… например, так: Большое Магелланово Облако, Местная группа, скопление, нить, войд, Великая стена Геркулес — Северная Корона.

Личный пример бывает убедителен, и тут мне повезло. Именно в смысле обучения построению словарей и демонстрации их иерархичности, я получил в разное время и от трех разных людей три существенных урока. Хотя осознал это значительно позже — и то с помощью окружающих. Так что перейдем к частным случаям в надежде, что вам — особенно, если вы родитель или педагог, — это пригодится. «При изучении наук примеры полезнее правил», — сказал Ньютон; с этим можно поспорить, но не будем. Итак, три человека обеспечили мне, несмотря на мои вполне умеренные интеллектуальные способности, возможность продуктивно работать в двух науках, обе эти науки успешно преподавать студентам и школьникам, радостно редактировать, писать книжки и статьи.

Первый их этих троих — Рафаил Самойлович Гутер, математик, мой преподаватель математики в самых старших классах, один из авторов оригинальной системы преподавания, автор многих популярных книг. Он работал в Институте теоретической и экспериментальной физики, ИТЭФе (который скоро, похоже, станет «историей»). У нас в журнале была статья «Школа как феномен культуры» об истории физматшкол Москвы (1997, 1), позже перепечатанная несколькими изданиями, в Интернете она есть. В статье говорилось: «Оригинальная система существовала в 7-й школе. Ученики под руководством наставника и путем решения задач сами строили курс высшей математики. Объем пройденного материала был при этом, конечно, меньше, чем во 2-й школе. Такая система развивала несколько иные способности — конструкторские. В 1963–1966 годах самой сильной по математической подготовке школой Москвы считалась именно 7-я. Наибольшее число грамот на олимпиадах МГУ получали ученики 18-го интерната при МГУ и этой школы. После ухода Гутера и Кронрода 7-я школа уступила свое место в табели 2-й».

В других публикациях, где упоминается эта система, обращается внимание на индивидуальность подхода и большое количество задач, но не упоминается нацеленность на конструирование определений, на это «сами строили курс». Например, разбирая много примеров разных функций, ученик замечал, что они чем-то объединены, как-то группируются в классы. И тем самым приходил к понятиям об их свойствах. Возможно, кстати, что именно этим путем шли первооткрыватели. Вот тот самый редкий метод, который был обещан выше; конечно, он требует существенного увеличения нагрузки и на учащегося, и на педагога.

Второй человек из этих троих — Леонид Петрович Грищук, физик, один из космологов «первого ряда», специалист по ОТО и гравитационным волнам (МГУ, ГАИШ, Кардиффский университет в Британии). Его биографию выдаст вам Интернет, но как мне представить его вам? Профессиональные результаты, полученные им, доступны мне не в такой мере, чтобы я осмелился хотеть этого от вас.

Мне довелось общаться с ним именно на физические темы, увы, недолго — суммарно несколько десятков часов, не более. Но демонстрация «многоступенчатости Вселенной» вполне могла иметь место. Учитывая, что именно о физике я до знакомства с ним не помышлял, его влияние очевидно. У меня до этого в списке увлечений были лишь химия (два раза вторая премия на городской олимпиаде, испорченный потолок в лаборантской и еще ряд приключений), математика и радиотехника (для тех, кто в теме, — Hi-Fi), но не физика, тем более — не эта.

Забавно и поучительно, что я задумался о его незаметном влиянии на меня спустя много лет и чисто случайно. Произошло это так: я общался с одним физиком из ОИЯИ (Дубна), тоже, кстати, преподавателем и тоже, кстати, редактором (как выразился Воланд, подобное лечится подобным). И в разговоре упомянул, что имел некоторое общение с Л.П. Грищуком. Мой собеседник медленно поднял на меня глаза (в этот момент он сидел, а я стоял), сделал длинную паузу и удивленно произнес: «А у вас школа…». Впрочем, в силу, как модно говорить, образовательной траектории, реализоваться этот импульс в полной мере не мог. Итак, влияние не бросается в глаза, но других людей, которые могли меня подтолкнуть в сторону физики, в моей жизни не было.

Третий человек в этом коротком списке — Александр Евсеевич Ашкинази, как говорили с гордостью в его эпоху — «дипломированный инженер», формально — электрик, а в силу биографии, скорее, инженер широкого профиля. В Интернете есть его книга, то есть книга о его времени; его немногочисленные статьи в профессиональных журналах вряд ли вам интересны. По крайней мере один раз его влияние оказалось совершенно конкретным — переключение с химии на радиотехнику, а без этого и физика могла «не пойти». Спустя много лет в моем архиве оказалась его толстая записная книжка, заполненная разнообразными сведениями, необходимыми инженеру, — там были и математика, и физика, и конструирование с технологией, и даже почему-то корректорские знаки — то, что в конкретные моменты ему требовалось; и все это хорошим чертежным (кто в теме) почерком. Но меня удивила самая первая страница.

Верхняя строка была явно написана при вводе в эксплуатацию. И выглядела она как жизненная декларация, как заявление о чем-то важном. А то, что ниже, — было вписано, судя по его биографии, заметно позже. Однако почему на первую страницу? — в книжке было еще несколько пустых страниц. Видимо, автор записи в какой-то момент счел для себя столь же важным ГОСТ на «паровые турбины стационарные с противодавлением» и «паровые турбины стационарные конденсационные для привода электрических генераторов», как и вопрос вечности Вселенной. Это к вопросу о многоступенчатости.

И в заключение две цитаты, причем не для поддержки, как обычно, автора, а как инициатор процесса мышления. Вот первая: «Наука должна владеть множеством языков, поскольку язык определяет образ мысли, и единственный «универсальный» язык науки ограничил бы наш взгляд на мир». Источник — Питер Уоттс, «Ложная слепота». И вот вторая: «Хороший учитель защищает учеников от собственного влияния». Источник — Брюс Ли, не только профессионал, но и профессионал в преподавании.

Не имеет ли нам смысл пытаться — с учетом двух этих высказываний — доносить до наших учеников несложную мысль об иерархичности мира и языков, о важности умения осваивать языки и даже строить их?