Новое в мире задач

В мире есть много такого, друг Горацио,

что не снилось, и не должно сниться,

нашим мудрецам.

Из Интернета

Рассмотрение новых типов задач полезно еще и потому, что вы можете с ними встретиться, и потому, что вы сами можете кого-то с ними «встретить» — если преподаете физику. Или иной предмет — потому что многие из предложенных ниже типов задач вполне возможны по другим естественно-научным, а некоторые — и по гуманитарным предметам. Автор не тщится построить всеобщую классификацию задач, хотя прекрасно сознает ослепительную красоту этой задачи. Автор также не претендует на полную оригинальность, хотя он придумал и ввел в преподавательскую практику часть изложенного ниже.

Задачи о реальном мире

Начнем с давно и хорошо известного — задач о реальном мире. Собственно, физика именно такими задачами и занимается, а не тем, что называется задачами в школьном курсе. В хороших учебных курсах задачи о реальном мире попадаются. Вот их признаки: вопрос ставится про природную или инженерную ситуацию; не вполне ясно, что надо и что не надо учитывать, то есть надо строить самому модель явления; построение модели может зависеть от каких-то факторов и от требуемой точности; ищется не что угодно, лишь бы школьника напугать, а нечто нужное для практики. Источников таких задач несколько, все их можно найти в Интернете. Вот несколько: Уокер Дж. Физический фейерверк; Задачи П.Л. Капицы; Асламазов Л.Г., Слободецкий И.Ш. Задачи по физике и не только; Маковецкий П.В. Смотри в корень!; Колотухин Э.В. Аттракцион природы и разума; Кашкаров В.В. Трамвай глазами физика; Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Мельников Л.А. Физические задачи для научных работников младшего возраста; Перельман М.Е. А почему это так? Иногда попадаются задачи о реальном мире и в обычных задачниках, чаще — в сборниках задач не самых простых олимпиад, например «Турнира Ломоносова» и «Многопредметного турнира для школьников», в Коллекции задач журнала «Квант» и в самом журнале «Квант».

Школьнику получить численное решение задачи о реальном мире бывает весьма трудно. Поэтому часто их формулируют как качественные, а если они еще и формулируются просто, называют вопросами. Принципиальной разницы между вопросом и задачей нет — в обоих случаях есть не полное описание ситуации и нужно узнать что-то еще относительно этой ситуации. Так что выбор термина — задача или вопрос — скорее вопрос традиции. Ниже мы с дилеммой «задача или вопрос» еще встретимся.

В некоторых случаях использование школьной сверхупрощенной модели способно развеселить аудиторию. Например: за какое время достигнет центра Земли человек, упавший в колодец, который соединяет полюса (и какая сложность возникнет, если колодец устроен иначе). Или вот: какую скорость должна иметь муха, чтобы при абсолютно неупругом столкновении остановить паровоз? Сильно ли при этом нагреется паровоз? А вот два вопроса, которые активно обсуждалась в Интернете: рассмотрите последствия возникновения на Земле кошки больше обычной в 10, 100, 1000 и так далее раз и может ли автобус двигаться в 10, 100, 1000 и так далее раз быстрее. Или вот: рассмотреть равновесие горизонтального стержня, вращающегося без трения в вертикальной плоскости. Здесь ситуация анекдотична — автор задачи имел в виду, что из-за неоднородности гравитационного поля Земли равновесие неустойчиво, но он не сообразил, что оно «устойчиво» из-за силы Архимеда. На самом же деле это безразличное равновесие — из-за трения.

Довольно часто в обычной задаче неловко поставленный вопрос рушит школьную модель, то есть влечет необходимость ее расширения, а именно — учета новых процессов, введения новых параметров. Вот три примера. Шарик падает на поверхность, при каждом ударе известная доля механической энергии превращается в тепло. После какого количества соударений он перестанет отскакивать от поверхности? Если считать шарик материальной точкой, то очевидный и очевидно неправильный ответ — никогда. Второй пример — тело стартует вверх по наклонной плоскости, коэффициент трения меньше тангенса угла наклона. Куда направлена сила трения в верхней точке траектории? И совсем уж классика — блок и два тела: со времен Древнего Египта снятся они школьникам! Чему равно ускорение при массах, равных нулю? Кстати, вопросом «а что, если вот это равно нулю?» можно «испортить» многие задачи — точнее, указать на некорректность примененной модели.

Школьное представление мира в виде «1 атм, 0°С, 10 м/с²», связи параметров — в виде двух десятков готовых формул, применимых всегда, а эксперимента — в виде плоскости, наклоненной под углом к горизонту, — следствие необходимости за малое время научить хоть чему-то, усугубленное предвкушением письменного и формализованного экзамена, который может существенно повлиять на дальнейшую биографию. В хорошем школьном учебнике говорится все-таки один раз об ограниченной применимости формул, о моделях и приближениях, но все это забывается мгновенно — впереди ЕГЭ.

При этом идеализированная постановка задачи следует из самой ее формулировки и школьной идеологии — в решении используются только те величины, которые даны, значит, влияет только то, что дано. Вопрос о том, что, почему и как влияет в данной ситуации, не возникает. Однако в любой естественной науке вопрос — что и как влияет? — является основным; а если он не задается, то лишь потому, что в конкретной области уже сложилась практика расчетов и решения задач. Которая в реальной ситуации может и подвести. Но мы хотим, чтобы человек был способен решать новые задачи, и создавать что-то новое, и строить модели сам, а не просто прилеплять детальки Лего одну к другой. Которыми добрые дяди и тети заменили ему реальный мир.

Новые типы задач

Вот несколько типов задач, которые хоть в какой-то мере могут помочь определить способность человека к обучению в вузе и к работе в науке. Первое слово в каждом абзаце — условное название этого типа задач.

Ориентация. Дается несколько страниц из учебника, задача — разобраться и быстро ответить на простые вопросы. Это почти моделирование процесса обучения, причем пригодное для любого предмета, в котором вообще есть понятие «ответить на вопрос». Но даже если его нет, этот метод может быть применен. Например, на инженерной или технологической специальности — быстро разобраться в чертежах или технологической карте и продемонстрировать это, сделав что-то. Кстати, нечто подобное есть в ОГЭ, но почему-то этого нет в ЕГЭ, где оно было бы еще более уместно.

Усвоение. Предлагается кусок новой теории из учебника, разбитый десятком задач, проверяющих усвоение каждого абзаца. При этом «следующий уровень» может быть разным — и почти освоенным, и существенно более сложным. Дело в том, что способность продвигаться зависит от сложности материала, и с ростом сложности она вообще падает, но падать она может по-разному. А зависимость способности продвигаться от сложности — важный параметр учащегося. Область применимости — все естественные науки, где есть понятие «задача».

Модель. Описано явление, надо предложить модель, контрольные эксперименты или расчет. Причем сначала следует написать, что надо измерить или рассчитать, чтобы определить, верна ли модель. А потом, при наличии условий, можно и сделать эксперимент. Область применимости — все естественные науки, где есть понятие «модель», верифицируемая экспериментом.

Критик. Дается кусок текста из Интернета, из научно-популярной книги или журнала. Надо найти ошибки или некорректности. Область применимости — естественные и гуманитарные науки. Вариант — сравнить и проанализировать два текста на одну тему. Решение этой и подобных задач полезно для выработки критического мышления, при обучении рецензированию или редактированию. Кстати, на лингвистических олимпиадах такие задачи бывали.

Решено ли? Дается задача с решением, требуется определить, решена ли она, указать ошибки, объяснить, почему они сделаны, что с чем перепутал автор решения, чего он не знал. Область применимости — все естественные и гуманитарные науки (например, история), где есть понятие «задача». Тут заодно проверяются и педагогические способности. Например, на движущееся с постоянной скоростью по горизонтальной плоскости тело кладут другое тело; как изменится скорость? — а в ответе не отношение масс, а корень из отношения. Как была сделана эта ошибка?

Конструктор объекта. Требуется сконструировать, а лучше всего — реально создать, объект. Задачи этого типа возможны в физике (электрическая или механическая схема по параметрам входа и выхода), технике (многие материаловедческие задачи), химии (синтез вещества или материала), компьютерных технологиях (программа, реализующая то-то и то-то), биологии. В социологии такие задачи могут ставиться и решаться на компьютерных моделях, например в рамках игр, похожих на «Цивилизацию».

Конструктор задачи. К предложенной задаче придумать разумное продолжение, расширение, уточнение, усложнение. Область применимости — все естественные науки.

Исправить описание. Дано описание реальной ситуации, но в описании есть ошибка — например, какой-то параметр имеет неправильное значение и надо обнаружить эту ошибку. Это модель вполне возможной ситуации, поскольку бывают ошибки при измерениях, иногда тривиальные, иногда похитрее (например, прибор влиял на ситуацию, а это не учли), а иногда и весьма хитро спрятанные, которые ищут месяцами.

Задачи типа «исправить описание» есть в замечательных книжках Сергея Смирнова «Задачник по истории Средних веков», «Задачник по истории науки», «Задачник по истории России» (Интернет вам в помощь). Существенную часть материала этих книг составляют вопросы о реальных исторических ситуациях. Человек, воспитанный на традиционных задачниках, скорее назовет их вопросами. Но, как указано выше, принципиальной разницы между задачей и вопросом нет.

Задачи на выявление логических связей. Внутренние связи в технических и физических ситуациях могут быть сформулированы в виде логических структур, и в итоге может быть задан вопрос, относящийся к ситуации в целом. Задачей может быть само составление структур, или дополнение имеющихся, или соединение разных структур и выявление ошибок в предлагаемых примерах — упражнение и на знание предметной области, и на знание логики. Вот один пример.

В реакторе выделяется мощность P, если в нем происходит N распадов в секунду. В реакторе происходит N распадов в секунду, если происходит N0 самопроизвольных распадов и каждый распад инициирует в среднем k=N/N₀ вторичных. N₀ самопроизвольных распадов происходит, если масса делящегося изотопа достигает M₁. Среднее количество инициированных распадов достигает k, если нейтроны замедлены до скорости V, при которой сечение захвата максимально, и доля нейтронов, покидающих активную зону без взаимодействия, мала. Доля нейтронов, покидающих активную зону без взаимодействия, мала, если масса делящегося изотопа достигает M₂ или масса делящегося изотопа достигает M₃ < M₂ и реактор снабжен отражателем, возвращающим нейтроны в активную зону. Нейтроны замедлены до скорости V, если в реакторе есть замедлитель — углерод массой M_у или вода массой M_в. Вопрос: масса делящегося изотопа M₂, а масса углерода — M_у. Будет ли реактор вырабатывать мощность Р?

Разобраться. В школьных задачах сразу известно, что ищется, то есть что подразумевается под ответом, и что дано, то есть через что нужно выразить это искомое. В реальной физике это далеко не всегда так. Если даже известно, что ищется, то исследователь иногда доволен собой и гордо пушит хвост, получив оценку «по порядку величины», а иногда его не устраивает и пятый знак после запятой. Исходных величин может быть и сколько надо, и больше, чем надо, и непонятно, какие использовать, и могут они быть известны с разной точностью. Серьезным аргументом является поиск теоретиком величин, которые можно измерить в эксперименте или для которых известны надежные экспериментальные или теоретические данные.

Поведение человека, которому предложено решить задачи перечисленных выше типов, во многом свидетельствует о его способности и учиться дальше, и исследовать Природу.

Межпредметные задачи

Для физика причина исторически сложившегося деления наук тривиальна: неустойчивость границы познанного с непознанным под давлением жажды знания. Механизм прост: место, где удалось продвинуться, привлекает исследователей и гранты. В результате складывается специфический облик наук — круг предпочитаемых задач и методов решения. Через век выясняется, что некоторые задачи лежат вне относительно освоенных областей и эффективны иные методы, поэтому возникают и со временем легитимизируются физхимия, химфизика, биофизика — возникают институты, журналы, книги, гранты, кафедры, степени, премии… Возникновение междисциплинарности в науке не означает движения к слиянию, потому что классические науки продолжают успешно рыть вглубь.

Возможно, что таков был когда-то и механизм возникновения базовых наук, в частности физики, химии, биологии. Природа поддавалась нажиму жажды познания «науки вообще» неравномерно. Там, где чисто случайно удалось продвинуться, возникли методы, приемы, возникла практика исследования и в итоге — ускорилось продвижение. И «наука вообще» разделилась на физику, химию и т. д. Заметим, что на другой стороне Рукава Ориона деление на науки может сложиться и по-другому. Например, вместо геологии, физики, химии и биологии у маленьких зеленых человечков, живущих на планете с живым океаном (аналогично Солярису), базовыми окажутся (в земной терминологии) биогеология, биофизика и биохимия, а понятие о чистой физике или чистой химии возникнет у них позже.

На наших глазах появились нейронауки — нейросоциология, нейроэкономика и т. д. Предметные области этих «гибридных наук» изначально менее изучены. Поэтому серьезный специалист одной из наук вместе с серьезным специалистом из другой, если у них возникнет взаимопонимание, могут сделать что-то интересное, причем относительно малой кровью. С другой стороны, внешняя легкость получения результатов привлекает халтурщиков, а что касается образования — создает опасную иллюзию того, что имеет смысл учить чему-то междисциплинарному, чтобы ученики по-быстрому открыли новую элементарную частицу и ее влияние на удои.

То, что в реальной природе деления на физику и химию нет, что сами эти понятия — результат эволюции, учащимся объяснить надо. Они должны понимать, как вообще устроена наука и почему процесс обучения не повторяет всю историю развития, но и не начинается с сегодняшнего состояния. Школьникам надо показывать связь предметов и то, что для решения реальных жизненных задач нужно во многих случаях применять несколько наук. Показать эту связь проще всего как раз на примере задач.

Что понимается сейчас под межпредметными задачами, какие от существования этого феномена могут быть плюсы и минусы для преподавания, есть ли в этом опыте что-то, что можно разумно использовать и что под этим именем могло бы быть еще полезного и вредного? В Интернете имеется около двухсот независимых упоминаний, но это почти всегда лишь рулады о роли и важности и перечень патриархов, которые якобы придавали значение.

Польза от применения таких задач кажется очевидной, но это не так — любое «новое» занимает в преподавании место чего-то «старого». Поэтому сначала должны быть исследованы отдаленные результаты. Собственно, так в любом случае должен действовать рационально мыслящий человек — но в педагогике это не принято. Что не исключает, однако, не директивных действий — издания сборников межпредметных задач, проведения соответствующих олимпиад, организации факультативов. Степень интереса к таким задачам, успешность их решения и главное — объективное влияние на успехи в традиционных предметах и субъективная оценка помощи в выборе области интереса, — все это поможет в определении целесообразности. Попробуем понять, как вообще может выглядеть межпредметность.

Первый, чисто формальный, но уже не вполне бессмысленный вариант — просто книжка, в которой есть задачи по разным предметам. Неясно, как примет книгу рынок, но олимпиада такая есть — это популярный «Турнир Ломоносова»,  где участники могут попробовать себя в разных предметах и проявить свою разносторонность.

Второй вариант — чисто формальное объединение задач в одну, через передачу числа или иного условия из одной задачи в другую. Количество молей какого-то из результатов какой-то реакции становится массой в килограммах двух сталкивающихся абсолютно каких-то шаров. Это, конечно, издевательство, но для полноты упомянуть надо.

Третий — когда решение одной задачи становится частью другой, но это не формальное объединение через число, а описание стадий одного процесса. Причем этот процесс в технике не используется и его анализ науке не нужен, он выдуманный — но в принципе его реализовать можно. Выделившийся в реакции газ (химия) может определить подъемную силу аэростата (физика) и дальнейшие приключения отчаянных воздухоплавателей, под которыми проплывает контурная карта, — так где же они находятся (география)? Искусственность решающему очевидна, но это проверка наличия разносторонних знаний, и воспринимается она не как издевательство, а, скорее, как развлечение.

Четвертый — формальное объединение по объекту или процессу, но не по стадиям, а просто разные вопросы об одном. Закон Архимеда (физика) — когда и где он жил (история науки) — нападение каких агрессоров отбила его страна (история) — какими способами (инженерия)? Кипение — кто первый продемонстрировал реактивную тягу (история) — на три века позже, та же страна, но какой регион (география) — как будет кипеть морская вода (физика и химия)?

Пятый вариант — не формальное объединение по объекту или процессу, а рассмотрение реальной жизненной ситуации, для анализа которой нужны знания из нескольких предметов. Заниматься такими задачами имеет смысл только на базе знаний по всем изученным и усвоенным отдельным предметам. Такие задачи имеют важную особенность — они учат применять выученное. Например, как повлияли на политическую историю ЮАР геологические особенности региона, психология женщин, любящих украшения, и социопсихология — «демонстративное потребление». Как влияют на Ближний Восток физика солнечных элементов, геология гидроразрыва нефтеносного пласта и «демографический переход». Вообще, процессы внутри организма (биология) — и химические (реакции), и физические (массоперенос, диффузия, осмос). Однако задачи этого типа для школьников вряд ли возможны — тут требуется знание обоих предметов на довольно серьезном уровне. Хотя можно в качестве задач использовать «качественные» вопросы, когда нужно понять, какой процесс из другого предмета существенен.

Шестой — методы одной науки применяются в других, и при этом возникает — более или менее сложная — задача, относящаяся к той науке, из которой взят метод. Физика вся говорит на языке математики и пользуется ее методами, иногда это приводит к непростым математическим задачам. Решают уравнения и биологи, и химики, применяют математику историки и лингвисты, но возникают ли при этом именно математические задачи? Любая физическая задача, приводящая к более чем квадратному уравнению, станет для школьника от неожиданности «межпредметной».

Седьмой вариант, самый туманный и интересный. Всякой науке свойственны свои методы, подходы, свой дух. Одну и ту же физическую задачу химик и математик будут решать, может быть, немного по-разному. Например, физику свойственно высматривать в сложной задаче «малый параметр» или сначала смотреть, нет ли у нее простых частных случаев (для контроля будущего решения). Математик может действовать иначе. В некоторых случаях хороший специалист может сказать: «Ну, математик (физик, химик…) подошел бы к этой проблеме так…», даже есть шутки на эту тему. Но вот задача — «решить задачу Х из области А, изображая подход, обычный для области Б»?

В реальной педагогической жизни под межпредметными задачами обычно понимают четвертый тип (формальное объединение), но собственно межпредметными можно назвать задачи типов пять, шесть и семь, то есть те, в которых решающему надо разобраться, где что, где физика, а где химия и как они сливаются в экстазе, то есть в колбе. Большинство школьников перед такой задачей остановятся в недоумении — по какому это предмету? Вот несколько примеров таких задач:

– плавление и замерзание, фазовые переходы между твердым и жидким — что изменится в природе и технике, если они перестанут происходить?

– испарение и конденсация, фазовые переходы между жидким и газом — что изменится в природе и технике, если они перестанут происходить?

– в учебниках иногда пишут, что насос не может поднять воду на высоту более 10 метров, – как деревья ухитряются поднимать воду, всосанную из почвы, на существенно большие высоты?

– какова должна быть толщина стенок батискафа для погружения в самое глубокое место Мирового океана, где находится это замечательное место?

– на какой частоте должен работать локатор летучих мышей, с какой точностью должна определять зверюшка интервал времени между посылкой сигнала и его приемом, как она может определять направление на объект?

Когда вы сами начнете придумывать такие задачи, то убедитесь, что задачи с сочетанием физики, химии и биологии получаются относительно легко — материал для них вокруг нас. Вот с подключением гуманитарных предметов ситуация сложнее. Формально связать естественные науки с гуманитарными можно — про любой метод исследования, физический прибор или закон можно спросить про историю и условия его создания (история), упоминания в литературе (литература, филология), а про любой термин — его происхождение (лингвистика). Но может быть, есть и менее формальные связи?

Другие относительно новые типы задач мы рассмотрим в следующей статье.