Математику — в массы!

Премию «Просветитель» в 2015 году в номинации «Естественные и точные науки» присудили сборнику «Математическая составляющая». Его подготовили Н.Н.Андреев, С.П.Коновалов и Н.М.Панюнин из лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института им. В.А.Стеклова РАН. Ученый совет института рекомендовал включить книгу в список важнейших достижений российских ученых в области математики за 2015 год.

Красивые фразы о том, что математика — язык науки и без нее не было бы у нас ничего из того, что называется «цивилизацией технологического типа», произносят часто. Однако далеко не каждый понимает, какова роль математики в создании тех предметов, что окружают нас в повседневной жизни. Книга «Математическая составляющая» заполняет этот пробел, рассказывая читателю множество интересных коротких историй о математике и жизни. Почему поезд, совершая поворот, не сходит с рельсов, хотя пути колес у него разные, а колеса жестко сцеплены? Из каких соображений взяты размеры листа бумаги формата А4? Как связаны общая теория относительности и системы глобального позиционирования вроде ГЛОНАСС? Где надо установить ультразвуковой излучатель, чтобы раздробить камень в почке пациента? Почему антенна приемника спутникового телевидения имеет форму параболы? Как Шухов сумел построить округлую Шуховскую башню из прямых швеллеров? Из каких элементов на луноходе собрать зеркало, в которое можно попасть лучом света с Земли, а потом поймать отражение и для чего это нужно? Может ли кожура занимать половину объема апельсина? Это — лишь малая часть вопросов, ответы на которые даны в книге.

Яркий пример хитроумия математиков — замечательный инструмент штангенциркуль. Казалось бы, на нем нанесены те же самые миллиметровые деления, что и на обычной линейке, стало быть, измерять можно лишь с точностью до полумиллиметра. На самом деле его точность гораздо выше благодаря специальной шкале, предложенной португальцем Педру Нунешем в XVI веке, — по его имени она названа нониусом. Она нанесена на передвигающейся губке штангенциркуля, состоит из десяти делений, а ее длина совпадает с длиной 19 делений на основной линейке. Теперь следим за руками, точнее, за фотографией.

При измерении первое деление нониуса немного зашло за 37 мм, а его четвертое деление почти точно совпало с делением 45 мм. Можно написать, что 45 мм — это 37+4.19/10+х, где х— то самое расстояние, на которое первое деление зашло за 37 мм. Отсюда выходит, что х-это 4.0,1 мм, то есть точность 100 мкм. А при соотношении 39/20 точность возросла бы до 50 мкм! Благодаря своей простоте и точности штангенциркуль с начала машиностроения и по сей день — важнейший инструмент инженера.

Расчет календаря — дело важное для всего человечества и каждого его представителя. Солнечный тропический год сейчас длится 365 дней 5 часов 48 минут 45,2 секунды, или 365,2422 суток. Как попроще это выразить, чтобы год состоял из целого числа дней ив то же время учитывать дробный остаток? А учитывать его надо, иначе весь календарь станет сдвигаться и в конце концов какой-нибудь зимний праздник окажется летом. Для такого учета нужно вводить дополнительные дни. Впервые это придумал александрийский астроном Созиген, а на практике применил Гай Юлий Цезарь. Но юлианский год с високосным месяцем раз в четыре года оказывается длиннее тропического на 11 минут и 15 секунд. Спустя полтора тысячелетия накопилась ошибка, ее устранил папа Григорий XIII, введя в 1582 году новый календарь с изъятием високосного года раз в сто лет (кроме тех годов, что делятся на 400). Он длиннее тропического лишь на 27 секунд.

Как придумать более совершенный календарь? Для этого надо применить математический аппарат под названием «цепные дроби», а именно представить дробную часть продолжительности года в виде последовательности дробей со знаменателями из натуральных чисел, выбранных по определенному правилу. Так, юлианский год дается формулой 365+1/4. Следующим будет календарь 365 + 1/(4+1/7), или 365 + 7/29 — семь високосных лет на каждые 29, его точность 1 минута 10 секунд. За ним 365+8/33 — на 20 секунд, лучше, чем григорианский календарь. Его предлагал еще Омар Хайям, но не был услышан. Предположительно, Григорий XIII не взял календарь Хайяма потому, что работал по кастильским таблицам, составленным в 1251 году, а там длина года была на 30 секунд больше, чем теперь. С тем, кастильским, расчетом григорианский календарь — его можно выразить как 365+97/400 — отлично совпадает: точность 4 секунды. Наиболее точным считают календарь 365+31/128 — отличие от тропического года лишь на одну секунду. Его в 1864 году предложил немецкий астроном Иоганн Генрих фон Медлер.

А вот задачка из повседневной жизни, особенно актуальная при отмечании Нового года: как заполнить наполовину конический бокал? Ответ: «Так, чтобы жидкость достигла середины высоты», естественно, неверен: в этом случае будет заполнено лишь 1/8 часть объема бокала. Половина объема получится, если бокал заполнить примерно на 4/5 высоты! Соответственно если отпить из полного бокала столько, что высота жидкости понизится всего на 1/5, — выпита будет половина. И это не зависит от того, как широко раскрыт конус бокала.

Всего же в книге собрано несколько десятков интересных и остроумных проявлений математического знания в обыденной жизни.