Нечеткая логика, жизнь и красота

Математика — не самая любимая тема «Химии и жизни»: не относится к естественным наукам, сложна для популяризации... С другой стороны, в XXI веке и биологии, и химии без математики не жизнь, хочешь — не хочешь, привыкать к ней надо. Поэтому мы планируем время от времени публиковать короткие статьи, просто объясняющие некоторые математические понятия, потенциально полезные для исследователей природы. Простое объяснение не заменит серьезного изучения, но, как говорит китайская пословица, путь в тысячу ли начинается с первого шага.

— Красива ли данная девушка?

Он сидел, закинув ногу на ногу, и смотрел куда-то вдаль, сквозь аудиторию. Элегантный мужчина лет сорока, темно-синий костюм, очки в тонкой оправе. Сделав небольшую паузу, он продолжил:

— Кто-то скажет — определенно да. Кто-то — что видел и покрасивее. А кому-то она совсем не понравится.

Так я познакомилась с теорией нечетких множеств.

Молодые люди, становясь старше, постепенно отходят от подросткового максимализма и перестают делить все на черное и белое; им уже не хватает простых характеристик «хорошо — плохо», «правильно — неправильно». Растет словарный запас, добавляются цвета и оттенки, все чаще возникают «но», «если»... Так и человечеству в какой-то момент стало тесно в рамках классической логики, где объект либо принадлежит определенному множеству, либо не принадлежит, а третьего не дано.

В 1965 году американский математик Лотфи Заде опубликовал в журнале «Information and Control» статью под названием «Fuzzy Sets» (нечеткие множества), в которой допустил, что функция принадлежности может не только равняться единице (принадлежит множеству) или нулю (не принадлежит), но и принимать любое значение между нулем и единицей. Тем самым он позволил численно описать такие случаи, когда объект «несильно принадлежит» или «почти принадлежит». Это и есть так называемый лингвистический подход — в качестве значений переменных допускаются не только числа, но и слова, и предложения. Лингвистической мы называем переменную, значениями которой являются слова естественного и искусственного языка.

Приведу простой пример. Ощущение тепла и холода очень субъективно — оно и будет нашей лингвистической переменной. При температуре -15^оС можно сказать, что на улице холодно или очень холодно; -2^оС — это тоже холодно, но все же не так сильно холодно, как -15^оС; можно даже сказать, что -2^оС — это скорее свежо.

Терм-множество — совокупность значений лингвистической переменной — в данном случае:«очень холодно», «холодно», «свежо», «тепло», «жарко». (Прошу обратить внимание, что все приведенные в статье примеры не претендуют на абсолютную объективность, — хотя бы потому, что ее не существует.)

На рис. 1 видно, что такие температуры, как 15^оС и 20^оС, воспринимаются как «тепло», а температура в 7,5^оС уже относится к «тепло» со значением функции принадлежности, равной 0,5; и с таким же значением она относится к «прохладно» (математическим языком это записывается так: 7,5^оС = 0,5/прохладно + 0,5/тепло).

Ощущение холода и тепла

Если объект принадлежит нескольким множествам, то сумма его функций принадлежности необязательно должна равняться единице (нечеткая логика — это не теория вероятностей!). Так, 25^оС = 1/тепло + 0,5/жарко.

Функция принадлежности может принимать разную форму. Наибольшее распространение получили треугольная, трапециевидная и гауссова (куполообразная) функции. Первые две показаны выше; последнюю же покажем на отдельном примере, так как она чаще всего встречается в природе и занимает особое место в моем сердце.

Считается, что человеческий глаз воспринимает электромагнитную волну длиной 510—550 нанометров как зеленый цвет. Но это не совсем так. Неужели 509 нм — это уже голубой? А 550,001 нм — желтый? Неувязка в том, что природное явление описали классической, дискретной логикой (голубой/желтый/ зеленый). А природа не терпит острых углов и резких поворотов.

Если же рассмотреть наше восприятие света с точки зрения нечеткой логики, то все становится на свои места (рис 2). Есть некая оптимальная длина волны, при которой можно с уверенностью назвать цвет зеленым. При увеличении длины волны цвет все больше отдает в желтизну и функция принадлежности к множеству «зеленый» уменьшается, постепенно сходя на нет. Такие же «купола» можно построить и для других областей видимого спектра — и это будет намного изящнее и логичнее, чем грубо рубить спектр на куски и присваивать этим кускам названия цветов.

Восприятие цвета

***

Незадолго до этой лекции мы с одногруппницей сидели на подоконнике, болтали ногами и жевали хот-доги.

— Живой! — убеждала меня Ленка.

— Неживой! — возражала я.

— Нет, живой!

— Неживой, говорю! Кетчуп с носа вытри!

— Белок есть? Веществом с окружающей средой обменивается? Значит, живой! — Ленка еще больше размазала кетчуп по лицу и вновь впилась зубами в хот-дог.

— Ну, хорошо, по Энгельсу — живой. Если ты опираешься на определение, которое дал человек, умерший за полвека до открытия структуры ДНК...

— ДНК у него тоже есть!

— У Энгельса?

— У вируса!!! — Она закашлялась от негодования. — Мы про кого сейчас говорим? Про вирус! ДНК есть, ну у некоторых только РНК — не суть! Есть информация, закодированная в нуклеотидах! Белок есть. И самое главное, — она подняла палец вверх, — его деятельность направлена на уменьшение собственной энтропии!

— Какая деятельность? Он сам даже размножиться не может!

— Ну, если у тебя возможность размножения — определяющий фактор, то получается, твой шестилетний брат тоже неживой.

— Да причем тут этот дурак? Вирус вообще не может размножаться без клетки-хозяина! И потом, клетка — это минимальная единица живого. А он — какая-то... полуклетка! Недоклетка! И вообще, даже одноклеточные, кишечная палочка какая-нибудь... Они тоже неживые!

— Это еще почему?

— Потому что они не могут... любить и страдать!

Прозвенел звонок, и мы побежали на пару.

***

...Лектор оторвал взгляд от той точки пространства, в которой висела его воображаемая Анджелина Джоли (а может, и Моника Белуччи, кто знает?), и продолжил:

— Если в классической логике из А следует Б и А истинно, то истинно и Б. А в нечеткой логике и вывод нечеткий. Допустим, есть красивая девушка. И мы знаем, что у нее есть сестра, похожая на нее. Из этого мы можем сделать нечеткий вывод, что сестра тоже красивая. В предельном случае — если бы та, первая, девушка была абсолютно красивой, а сестра была бы ее идентичным близнецом, то наш нечеткий вывод стал бы вполне четким, подчиняющимся законам классической логики. Но это, как вы понимаете, идеализированная ситуация.

Лектор грустно вздохнул, а мы постарались хихикать потише.

— Область применения нечеткой логики очень широка. Это финансовый анализ, медицина, распознавание образов, исследование рисковых и критических ситуаций, а также системы искусственного интеллекта и нейронные сети. В частности, нечеткую логику применяют для повышения безопасности ядерных реакторов и диагностики рака. Ее используют для систем, которые слишком сложны сами по себе или в которых слишком много данных.

Для слишком сложных систем...

А ведь жизнь — это слишком сложное, многофакторное явление, которое невозможно охарактеризовать одним определением. В определении живого и неживого мы стали заложниками классической логики, а нужно просто посмотреть немножко с другой стороны. Значит, лингвистической переменной у нас будет... сама жизнь. А терм-множеством — «живой», «близкий к живому», «что-то среднее», «почти неживой», «неживой»... И вирус, так и быть, не совсем неживой… Действительно, есть у него и белок, и ДНК, и размножается он, паразит такой... так и быть, дам его значению функции принадлежности к множеству живых три десятых, да и хватит с него.

Лекция продолжалась, за окном шелестели деревья, а по дороге проплывала девушка — высокая, тонкая, как осинка, на каблучках и в развевающемся платье. Девушка, степень принадлежности которой к множеству красивых женщин я бы оценила на 0,9, а то и на 0,95 — повыше, чем свою степень принадлежности к этому же множеству. Хотя, будь жив Рубенс, он дал бы нам обеим ноль, как и мужчина из эфиопского племени мурси, для которого красота женщины определяется тем, насколько сильно растянута ее нижняя губа. А жизнь-то еще более нечеткая, чем самая нечеткая логика...

После лекции мы с Ленкой сидели на скамейке, жмурились на солнце и ели мороженое.

— Семь десятых, — говорила она.

— Да куда ж ему так много! Это же просто вирус! Три десятых, и хватит с него!

— Семь, — упорствовала Ленка, размазывая мороженое по щеке.