Конспект «Математических начал натуральной философии»

Триста лет назад, в 1713 году, увидело свет второе издание «Математических начал натуральной философии» Исаака Ньютона, в которых он изложил свои знаменитые законы и доказал, что все движения небесных тел проистекают из единственной причины — действия тяготения между ними. Кроме того, он сформулировал и принципы научного исследования, применяемые по сей день.

На русский язык этот труд перевел Алексей Николаевич Крылов, знаменитый механик и кораблестроитель, автор теории качки корабля и многих других работ, академик, генерал по особым поручениям при морском министре в 1911 году, начальник Морской академии в 1918—1920 годах, затем директор Физико-математического института, популяризатор науки, лауреат Сталинской премии и Герой Социалистического Труда. В предисловии к изданию он отмечает, что революционные идеи Ньютона понравились не всем. «Философские системы, в особенности декартова, тогда еще прочно царили над учением о природе и мироздании. Ньютоново воззрение, что при изучении природы надо от наблюдаемых явлений восходить к установлению причин, коими они объясняются, шло в разрез с декартовым учением, согласно которому надо проницательностью ума вперед установить первопричины и из них выводить следствия. С другой стороны, философия близко примыкала к религии и богословию; связь эта бывала не только свободною, но и насильственною, чему примером может служить следующее «заявление о. Лесера и Жакье», предпосланное третьему тому их издания ньютоновых «Начал» 1760 года: «Ньютон в этой книге принимает гипотезу о движении Земли. Предложения автора не могут быть объяснены иначе, как на основании сделанной гипотезы. Таким образом мы вынуждены выступать от чужого имени. Сами же мы открыто заявляем, что мы следуем постановлениям, изданным верховными первосвященниками против движения Земли».

О том, сколь острой была в те дни полемика о причинах движения небесных тел и в научных, и в церковных кругах, свидетельствует и предпосланное книге Предисловие издателя — математика Роджера Котеса (Котса). Как ни странно, его слова вполне актуальны, поскольку голоса оппонентов Ньютона звучат и сегодня.

«Ньютоновой философии новое, столь давно желанное издание, теперь во многом исправленное и дополненное, предъявляем тебе, благосклонный читатель. Главнейшее содержание этого знаменитейшего сочинения ты можешь усмотреть в приложенных оглавлениях, о добавлениях же и изменениях тебе указано в предисловии автора. Остается лишь кое-что присовокупить относительно самого метода этой философии.

Пытавшихся излагать физику можно вообще отнести к трем категориям. Прежде всего, выделяются приписывавшие разного рода предметам специальные скрытые качества, от которых неизвестно каким образом и должно было происходить, по их мнению, взаимодействие отдельных тел.

В этом заключалась сущность схоластических учений, берущих свое начало от Аристотеля и перипатетиков. Они утверждали, что отдельные действия тел происходят вследствие особенностей самой их природы, в чем же эти особенности состоят, тому они не учили, следовательно, в сущности, они ничему не учили. Таким образом, все сводилось к наименованию отдельных предметов, а не к самой сущности дела, и можно сказать, что ими создан философский язык, а не самая философия.

Другие, отбросив напрасное нагромождение слов, надеялись с большей пользою затратить свой труд. Они утверждали, что всё вещество во вселенной однородно и что всё различие видов, замечаемое в телах, происходит в некоторых простейших и доступных пониманию свойствах частиц, составляющих тела. Восходя, таким образом, от более простого к более сложному, они были бы правы, если бы они на самом деле приписали этим первичным частицам лишь те самые свойства, которыми их одарила природа, а не какие-либо иные. Но на деле они предоставляют себе право допускать какие им вздумается неведомые виды и величины частиц, неопределенные их расположения и движения, а также измышлять различные неощутимые жидкости, свободно проникающие через поры тел и обладающие всемогущею тонкостью и скрытыми движениями.

Таким образом, они предаются фантазиям, пренебрегая истинною сущностью вещей, которая, конечно, не может быть изыскана обманчивыми предположениями, когда ее едва удается исследовать при помощи точнейших наблюдений. Заимствующие основания своих рассуждений из гипотез, даже если бы все дальнейшее было ими развито точнейшим образом на основании законов механики, создали бы весьма изящную и красивую басню, но все же лишь басню.

Остается третья категория — это те, кто является последователями экспериментальной философии (т.е. экспериментального метода при исследовании явлений природы). Они также стремятся вывести причины всего сущего из возможно простых начал, но они ничего не принимают за начало, как только то, что подтверждается совершающимися явлениями. Они не измышляют гипотез и не вводят их в физику иначе, как в виде предположений, коих справедливость подлежит исследованию. Таким образом они пользуются двумя методами — аналитическим и синтетическим. Силы природы и простейшие законы их действия они выводят аналитически из каких-либо избранных явлений, и затем синтетически получают законы остальных явлений. Вот этот-то самый лучший способ исследования природы и принят преимущественно перед прочими нашим знаменитейшим автором».

Вот другая цитата:

«Некоторым вся эта небесная физика еще менее нравится, ибо противоречит декартовым догматам и едва ли может быть с ними согласована. Пусть они остаются при своем мнении, но пусть они будут справедливы и предоставят другим такую же свободу, какую они желают, чтобы была предоставлена им. Пусть же нам будет предоставлено право придерживаться ньютоновой философии, которую мы считаем более правильной и признавать истинными причины, подтверждаемые явлениями, а не такие, которые выдумываются и ничем не подтверждаются. Истинной философии подобает выводить природу вещей из причин действительно существующих, и изыскивать те законы, которыми великий творец установил прекраснейший порядок сего мира, а не те, которыми мог бы это сделать, если бы того пожелал. Разум допускает, что то же самое следствие может происходить и от нескольких причин, различных одна от другой; но лишь та причина истинная, от которой эти следствия на самом деде происходят, прочим же нет места в истинном учении о природе. В часах движение стрелок может происходить или от подвешенных гирь, или от заключенной внутри пружины. Если бы кто принял часы с гирями за пружинные и на основании этого поспешного заключения стал бы объяснять движение стрелок, то его бы осмеяли. Сперва надлежало бы тщательно исследовать внутреннее устройство машины, чтобы определить истинное начало производимых ею движений. Разве не следует вынести подобного же суждения о тех философах, которые предполагают, что небесное пространство заполнено тончайшей материей, находящейся в непрестанном вихревом движении. Если бы им даже удалось точнейшим образом удовлетворить своими гипотезами совершающимся явлениям, то и тогда нельзя было бы утверждать, что они излагают истинное учение о природе и что ими найдена истинная причина движения небесных тел, пока они бы не доказали, что предполагаемое ими действительно существует или, по крайней мере, что другого ничего не существует. Поэтому, после того как показано, что тяготение действительно имеет место в природе, и после того как показано, каким образом от него происходит движение всех небесных тел, то совершенно напрасно и заслуживает лишь осмеяния возражение, что те же движения следует еще объяснить и вихрями, если бы даже такое объяснение и оказалось возможным, чего мы, однако, совершенно не допускаем».

Рене Декарт

А что же сам знаменитейший автор? Его труд состоит из трех книг. В первых двух он дает теорию – законы движения. А в третьей – Систему мира. Именно в ней он объясняет движения небесных тел – планет, их спутников и комет, причем не только объясняет, но и рассчитывает траектории. Тот факт, что они соответствуют экспериментально измеренным и служит обоснованием справедливости тех положений, что легли в основание расчета. И они же служат аргументом против альтернативного мнения – концепции Декарта, в соответствии с которой движением небесных тел управляет не пустота, а эфир, точнее, его вихри. По Ньютону же небесные тела движутся в пустом пространстве под действием силы тяжести, причина которой, впрочем, ему не понятна; здесь, в специально добавленном ко второму изданию Общем поучении и прозвучало знаменитое: гипотез же я не измышляю».

И действительно, лишь спустя две сотни лет людям стараниями Эйнштейна удалось предположить и экспериментально доказать, что причиной силы тяжести служит искажение самого по себе пространства телом, обладающим массой. Подобные деформации способны возникать в абсолютно пустом пространстве просто в силу помещения туда тела, обладающего массой и не требуют никакой всепроникающей жидкости с ненулевой вязкостью – вселенского эфира. Так, фактически, стараниями Ньютона был начат и победно выигран первый раунд спора об эфире: в течение трехсот лет непременная проверка гипотезы экспериментом и выведение гипотезы из экспериментальных данных служит основой научного метода. Сами же законы Ньютоны – основа основ современной науки, во всяком случае, их нарушение рассматривается Комиссией РАН по борьбе со лженаукой и фальсификацией научных данных как не обсуждаемый аргумент, порочащий попавшую под ее рассмотрение теорию.

Однако на самом деле этот спор отнюдь не закончился. Все прекрасно знают, что еще в начале двадцатого века физики ставили опыты по обнаружению эфирного ветра, которые до сих пор трактуются отдельными энтузиастами неоднозначно, хотя с официальной точки зрения отсутствие эфира в них было доказано. Более того, подкопы под здание науки, построенное Ньютоном ведутся в нескольких направлениях. С одной стороны копают создатели всевозможных новых теорий эфира, которые в качестве аргументов справедливо указывают на некоторые экспериментальные данные, не находящие объяснения в современной физике вроде макрофлуктуаций Шноля, особенностей разлета частицы при радиоактивном распаде, парадокса Пионеров и прочих странностей, широко говорить о которых не принято. С другой стороны подкоп ведут вполне признанные научным сообществом ученые. Они хотят узнать, сколь выполняется закон тяготения, а именно обратная пропорциональность силы гравитации квадрату расстояния между массами, на сверхмалых, сравнимых с размером атома, и сверхбольших расстояниях. В эту же череду входят и попытки измерить скорость распространения гравитационного поля. Считается, что если нарушения закона тяготения Ньютона буду обнаружены, это проложит путь к какой-то новой физике. Третье направление – попытки, ныне одобренные Нобелевским комитетом, объяснить само возникновение массы взаимодействием с неким полем, обладающим достаточно таинственными свойствами (подробнее об этом – в следующем номере).

Однако прислушаемся к мнению выигравшей триста лет тому назад стороны, к ее аргументам и к той методологии, которой надо следовать для получения правильного результата.

Исаак Ньютон

Так как древние, по словам Паппуса, придавали большое значение механике при изучении природы, то новейшие авторы, отбросив субстанции и скрытые свойства, стараются подчинить явления природы законам математики.

В этом сочинении имеется в виду тщательное развитие приложений математики к физике.

Древние рассматривали механику двояко: как рациональную (умозрительную), развиваемую точными доказательствами, и как практическую. К практической механике относятся все ремесла и производства, именуемые механическими, от которых получила свое название и самая механика.

Так как ремесленники довольствуются в работе лишь малой степенью точности, то образовалось мнение, что механика тем отличается от геометрии, что все вполне точное принадлежит к геометрии, менее точное относится к механике. Но погрешности заключаются не в самом ремесле или искусстве, а принадлежат исполнителю работы: кто работает с меньшей точностью, тот – худший механик, а если бы кто-нибудь смог исполнять изделие с совершеннейшей точностью, тот был бы наилучшим из всех механиков. <…> Но так как в ремеслах и производствах приходится по большей части иметь дело с движением тел, то обыкновенно все касающееся лишь величины относят к геометрии, все же касающееся движения – к механике.

В этом смысле рациональная механика есть учение о движениях, производимых какими бы то ни было силами, и о силах, требуемых для производства каких бы то ни было движений, точно изложенное и доказанное.

Древними эта часть механики была разработана лишь в виде учения о пяти машинах (рычаг, блок, ворот, винт, клин – отмечает переводчик), применяемых в ремеслах; при этом даже тяжесть (так как это не есть усилие, производимое руками) рассматривалось ими не как сила, а лишь как грузы, движимые связанными машинами. Мы же, рассуждая не о ремеслах, а об учении о природе, и следовательно, не об усилиях, производимых руками, а о силах природы, будем, главными образом, заниматься тем, что относится к тяжести, легкости, силе упругости, сопротивлению жидкостей и к тому подобным притягательным или напирающим силам. Поэтому и сочинение это нами предлагается как математические основания физики. Вся трудность физики, как будет видно, состоит в том, чтобы по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам объяснить остальные явления. Для этой цели предназначены общие предложения, изложенные в книгах первой и второй. В третьей же книге мы даем пример вышеупомянутого приложения, объясняя систему мира, ибо здесь из небесных явлений, при помощи предложений, доказанных в предыдущих книгах, математически выводятся силы тяготения тел к Солнцу и отдельным планетам. Затем по этим силам так же при помощи математических предложений, выводятся движения планет, комет, Луны и моря. Было бы желательно вывести из начал механики и остальные явления природы рассуждая подобным же образом, ибо многое заставляет меня предполагать, что все эти явления обусловливаются некоторыми силами, с которыми частицы тел, вследствие причин покуда неизвестных, или стремятся друг к другу и сцепляются в правильные фигуры, или же взаимно отталкиваются и удаляются друг от друга. Так как эти силы неизвестны, то до сих пор попытки философов объяснить явления природы и оставались бесплодными. Я надеюсь, однако, что или этому способу рассуждения, или другому более правильному, изложенные здесь основания доставят некоторое освещение. 

Гипотеза вихрей подавляется многими трудностями. Чтобы планета могла описывать радиусом, проведенным к Солонцу, площади, пропорциональные времени, надо, чтобы времена обращений частей вихря были пропорциональны квадратам расстояний их до Солнца. Чтобы времена обращений планет находились в полукубическом отношении их расстояний до Солнца, и времена обращений частей вихря должны находиться в полукубическом же отношении их расстояний до Солнца. Чтобы меньшие вихри вокруг Сатурна, Юпитера и других планет могли сохранять свое обращение и спокойно плавать в вихре Солнца, времена обращения частей солнечного вихря должны быть между собою равны. Вращение Солнца и планет вокруг своих осей, которое должно бы согласовываться с движениями вихрей, совершенно не согласуется с этими пропорциями. Движения комет вполне правильны и следуют тем же законам, как и движения планет, и не могут быть объяснены вихрями. Кометы переносятся по весьма эксцентрическим орбитам во всех областях неба, чего быть не может, если только вихрей не уничтожить.

Тела, брошенные в нашем воздухе, испытывают единственно только сопротивление воздуха. Когда воздух удален, как, например, в бойлевой пустоте, сопротивление прекращается, так что нежнейшее перышко и кусочек золота падают в этой пустоте с одинаковой скоростью. Таковы же условия и в небесных пространствах, которые находятся над земною атмосферою. Все тела в этих пространствах должны двигаться совершенно свободно, поэтому планеты и кометы непременно обращаются, следуя изложенным выше законам, по орбитам постоянного рода и положения. По законам тяготения они продолжают оставаться на своих орбитах, но получить первоначальное расположение орбит лишь по этим законам они не могли.

Шесть главных планет обращается вокруг Солнца приблизительно по кругам, концентрическим с Солнцем, по тому же направлению и приблизительно в той самой плоскости. Десять лун обращается вокруг Земли, Юпитера и Сатурна по концентрическим кругам, по одному направлению и приблизительно в плоскости орбит самих планет. <…>

Такое изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло произойти иначе, как по намерению и по власти могущественного и премудрого существа. Если и неподвижные звезды представляют центры подобных же систем, то все они, будучи построены по одинаковому намерению, подчинены и власти единою: в особенности приняв в соображение, что свет неподвижных звезд – той же природы, как и свет Солнца, и все системы испускают свет друг на друга, а чтобы системы неподвижных звезд от своего тяготения не падали друг на друга, он их расположил в таких огромных одна от другой расстояниях. <…>

До сих пор я изъяснил небесные явления и приливы наших морей на основании силы тяготения, но я не указывал причин самого тяготения. Эта сила происходит от некоей причины, которая проникает до центра Солнца и планет без уменьшения своей способности и которая действует не пропорционально величине поверхности частиц, на которые она действует (как это обыкновенно имеет место для механических причин), но пропорционально количеству твердого вещества, причем ее действие распространяется повсюду на огромные расстояния, убывая пропорционально квадратам расстояний. Тяготение к Солнцу составляется из тяготения к отдельным частицам его и при удалении от Солнца убывает в точности пропорционально квадратам расстояний даже до орбиты Сатурна, что следует из покоя афелиев планет, и даже до крайних афелиев комет, если только эти афелии находятся в покое. Причину же этих свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю. Все же, что не выводится из явлений, должно называться гипотезою, гипотезам же метафизическим, физическим, механическим, скрытым свойствам, не место в экспериментальной философии.

В такой философии предложения выводятся из явлений и обобщаются помощию наведения. Так были изучены непроницаемость, подвижность и напор тел, законы движения и тяготения. Довольно того, что тяготение на самом деле существует и действует согласно изложенным нами законам, и вполне достаточно для объяснения всех движений тел и моря.

Правила умозаключений в физике

Правило I

Не должно принимать в природе иных причин сверх тех, которые истинно достаточны для объяснения явлений. По этому поводу философы утверждают, что природа ничего не делает напрасно, а было бы напрасным совершать многим то, что может быть сделано меньшим.

Природа проста и не роскошествует излишними причинами вещей.

Правило II

Поэтому, поскольку возможно, должно приписывать те же причины того же рода проявлениям природы. Так, например, дыханию людей и животных, падению камней в Европе и в Африке, свету кухонного очага и Солнца, отражению света на Земле и на планетах.

Правило III

Такие свойства тел, которые не могут быть ни усиляемы, ни ослабляемы и которые оказываются присущими всем телам, над которыми возможно производить испытания, должны быть почитаемы за свойства всех тел вообще.

Свойства тел постигаются не иначе, как испытаниями; следовательно, за общие свойства надо принимать те, которые постоянно при опытах обнаруживаются и которые, как не подлежащие уменьшению, устранены быть не могут. Понятно, что в противность ряду опытов не следует измышлять на авось каких-либо бредней, не следует также уклоняться от сходственности в природе, ибо природа всегда и проста и всегда сама с собой согласна.

Протяженность тел распознается не иначе, как нашими чувствами, тела же не все чувствам доступны, но так как это свойство присуще всем телам, доступным чувствам, то оно и приписывается всем телам вообще. Опыт показывает, что многие тела тверды. Но твердость целого происходит от твердости частей его, поэтому мы по справедливости заключаем, что не только у тех тел, которые нашим чувствам представляются твердыми, но и у всех других неделимые частицы тверды. О том, что все тела непроницаемы, мы заключаем не по отвлеченному рассуждению, а по свидетельству чувств. Все тела, с которыми мы имеем дело, оказываются непроницаемыми, отсюда мы заключаем, что непроницаемость есть общее свойство всех тел вообще. О том, что все тела подвижны и, вследствие некоторых сил (которые мы называем силами инерции), продолжают сохранять свое движение или покой, мы заключаем по этим свойствам тех тел, которые мы видим. Протяженность, твердость, непроницаемость, подвижность и инертность целого происходят от протяженности, твердости, непроницаемости, подвижности и инерции частей, отсюда мы заключаем, что все малейшие частицы всех тел протяжены, тверды, непроницаемы, подвижны и обладают инерцией. Таково основание всей физики. Далее мы знаем по совершающимся явлениям, что делимые, но смежные части тел могут быть разлучены друг от друга, из математики же следует, что в нераздельных частицах могут быть мысленно различаемы еще меньшие части. Однако неизвестно, могут ли эти различные частицы, до сих пор не разделенные, быть разделены и разлучены друг от друга силами природы. Но если бы хотя бы единственным опытом, было установлено, что некоторая неделимая частица при разломе твердого и крепкого тела подвергается делению, в силу этого правила мы бы заключили, что не только делимые части разлучаемы, но что и неделимые могут быть делимы до бесконечности и действительно разлучены друг от друга.

Наконец, как опытами, так и астрономическими наблюдениями устанавливается, что все тела по соседству с Землею тяготеют к Земле, и притом пропорционально количеству материи каждого из них; так, Луна тяготеет к Земле пропорционально своей массе, и взаимно наши моря тяготеют к Луне, все планеты тяготеют друг к другу; подобно этому и тяготение комет к Солнцу. На основании этого правила надо утверждать, что все тела тяготеют друг к другу. Всеобщее тяготение подтверждается явлениями даже сильнее, нежели непроницаемость тел, для которой по отношению к телам небесным мы не имеем никакого опыта и никакого наблюдения. Однако я отнюдь не утверждаю, что тяготение существенно для тел. Под врожденною силою я разумею единственно только силу инерции. Она неизменна, а тяжесть при удалении от Земли уменьшается.

Правило IV

В опытной физике предложения, выведенные из совершающихся явлений с помощью наведения, несмотря на возможность противных им предположений, должны быть почитаемы за верные или в точности, или приближенно, пока не обнаружатся такие явления, которыми они еще более уточнятся или же окажутся подверженными исключениям. Так должно поступать, чтобы доводы наведения не уничтожались предположениями.

Подготовлено по книге: Исаак Ньютон, «Математические начала натуральной философии», Москва, Наука, 1989.

Аксиомы или законы движения

Закон I

Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние.

Брошенное тело продолжает удерживать свое движение, поскольку его не замедляет сопротивление воздуха и поскольку сила тяжести не побуждает это тело вниз. Волчок, коего части, вследствие взаимного сцепления, отвлекают друг друга от прямолинейного движения, не перестает вращаться (равномерно), поскольку это вращение не замедляется сопротивлением воздуха. Большие же массы планет и комет, встречая меньшее сопротивление в свободном пространстве, сохраняют свое как поступательное, так и вращательное движение в продолжение гораздо большего времени.

Закон II

Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Если какая-нибудь сила производит некоторое количество движения, то двойная сила произведет двойное, тройная — тройное, будут ли они приложены разом все вместе, или же последовательно и постепенно. Это количество движения, которое всегда происходит по тому же направлению, как и производящая его сила, если тело уже находилось в движении, при совпадении направлений прилагается к количеству движения тела, бывшему ранее, при противоположности — вычитается, при наклонности — прилагается наклонно и соединяется с бывшим ранее сообразно величине и направлению каждого из них.

Закон III

Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны.

Если что-либо давит на что-нибудь другое или тянет его, то оно само этим последним давится иди тянется. Если кто нажимает пальцем на камень, то и палец его также нажимается камнем Если лошадь тащит, камень, привязанный к канату, то и, обратно (если можно так выразиться), она с равным усилием оттягивается к камню, ибо натянутый канат своею упругостью производит одинаковое усилие на лошадь в сторону камня и на камень в сторону лошади, и насколько этот канат препятствует движению лошади вперед, настолько же он побуждает движение вперед камня. Если какое-нибудь тело, ударившись в другое тело, изменяет своею силою его количество движения на сколько-нибудь, то оно претерпит от силы второго тела в своем собственном количестве движения то же самое изменение, но обратно направленное, ибо давления этих тел друг на друга постоянно равны. От таких взаимодействий всегда происходят равные изменения не скоростей, а количеств движения, предполагая, конечно, что тела никаким другим усилиям не подвергаются. Изменения скоростей, происходящие также в противоположные стороны, будут обратно пропорциональны массам тел, ибо количества движения получают равные изменения. Этот закон имеет место и для притяжений, как это будет доказано в поучении.